我们都会算一段时间内的平均速度，但某一时刻的速度是多少呢？它对应于我们怎么过一个曲线上一点画切线，因为切线的斜率就是瞬时变化率。当然，这一点，学过高数里如何求导的都不觉得是问题，也容易忽略它，因为比较简单。但其实想一想，如果没有求导数的技巧，这个瞬时变化率是不太好求的。第二个，求区域的面积。中学里我们学过怎么求圆面积，梯形面积，三角形面积，甚至是椭圆面积。
这些是比较规则的区域面积。那么一般的区域面积怎么求呢？高数里学了，可以用定积分来求。求定积分的关键，在于怎么把求导的过程逆过来，我们学了比较多的积分技巧，就是为了这个。同样，求物体体积，求曲线长度，都可以用极限的思想转化为定积分问题来求解。第三个，拓展了方程的范围。以前说起方程，那就是等式里面有未知量，还有一些运算如加减乘除，加上乘方，一些三角函数，指数函数，以及函数的合成和逆函数。
到了高数阶段，方程里的运算多了一种——求导，我们叫它微分方程。微分和求导是一个意思，因为方程里有了微分，所以叫它微分方程（Differential equation），在很多实际应用中，是需要涉及到变化率的，避免不了遇到解微分方程的问题。比如说研究化学的话，某种气体浓度的变化率就是浓度这个量的导数。上面这三个例子应该涵盖一般高数课程的主要内容了。
我们再举一个股票的例子。比如你想通过股票价格的变化曲线知道某一天的涨（跌）幅，那就是看曲线的斜率，如果曲线有代数表达式，就是求曲线的导函数在这一天（点）的值。再比如你想知道一整年某只股票的表现情况，那就是求股价曲线在一整年这个区间上定积分的值。若是你从股票变化中看出了什么规律，那您列一个微分方程，求解出来，就能大概看出来股票的变化曲线了。
当然，股票有很大的随机性，是非常难以预测的。最大的一个原因，人们很可能会根据预测改变自己在股票市场的行为，从而改变该股票的走势。同时，公司内部如何变动，会产生什么影响，也是一般股民很难了解到的。所以高数在股票分析里，做“马后炮”看清历史数据揭示了什么事情是比较靠谱的，用来预测是不可靠的。再举一个例子。
在工程应用里，我们可能听过傅里叶级数，正弦波之类的。这个也是高数里重要的一个内容。它将一个比较复杂的函数写成一些简单函数的组合，用这个简单的组合来近似，从而具备很好的分析条件，才使得信号分析处理成为可能。这也是极限思想的一个很好的应用。高数的内容不少，其实都围绕着极限思想的应用。那么极限是什么呢？简单的讲，就是对于无法直接求出的值，先找到一个近似的方法，然后将这个近似能做多好做多好，我们研究极限，就是去研究这个做到最好是多少。
